【高校入試】都立高校入試問題を解いてみました。~数学~

2020年度都立高校入試問題数学を解いてみました。

1⃣

問1~問5:基本問題です。正負の数の計算、分配法則、方程式の移項、連立方程式の加減法などです。

問6:解の公式をしっかり覚えておけば、簡単です。

問7:表で15分未満の人数を全体の人数でだけ

問8:ちょっと難しかったと思います。

問9:異なる点から同じ距離にある点を求める=垂直二等分線を引くというのがすぐ浮かべば簡単。




【問9】作図

AP=BP、かつ、△ABCのBC上の点Pを作図

AP=BPからABの垂直二等分線を引き、辺BCとの交点をPとすればよいです。

※垂直二等分線は、点A、点Bから同じ半径で円を書き、2つの円が2点で交わるので、その点を結ぶ線を引く。その線の延長と辺BCの交点をPとする。


2⃣

問1、問2とも文章をよく読むことと。円の面積の求め方をしっかり理解していれば難しくありません。


【問1】

円柱の体積は、底面積(円の面積(πr²))×高さ。

X=πa²h、Y=πb²h

XーY=πa²hーπb²h

=π(a²ーb²)h 答え ア

【問2】

X=πa²h、Y=πb²h

W=X+Y

=π(a²+b²)h ・・・①


体積Zを求めるためには、底面積(円の面積)を求める。

底面積(円の面積)を求めるために、底面(円)の半径を求める。

図4の底面(円)の半径は、円の円周から求める。円周=2π×半径

円周は、図1と図2からAD+EH=2πa+2πb


図4の底面(円)の半径=(2πa+2πb)÷2π =a+b

底面積=π(a+b)²

Z=π(a+b)²h ・・・②


①②から

Z-W=π(a+b)²h ーπ(a²+b²)h

=π(a²+2ab+b²)hーπ(a²+b²)h

=π×2ab×h

=2πabh



3⃣

問1は、最小値が0であることに注意していれば、簡単です。

問2は、よくでる問題で、似たような問題は、みなさん解いていると思います。

問3は、難しい問題がよく出題されてきていましたが、今回は、少し易しめでした。


【問1】

グラフは、y=1/4x²

P(a,b) -8≦a≦2 、

Pは、y=1/4x²上の点だから

a=ー8の時、b=16

a=2の時、b=1

ここでよく間違うのでは、1≦b≦16としてしまうことです。


図1をよく見るとわかると思いますが、a=0の時にb=0になります。

だから 0≦b≦16が正解になります。


【問2】

2点A、Pを通る直線ですので、A、Pの座標が分かれば式は求められます。

A(4、4)※y=1/4x²のx=4を代入して、y=4

P(-6、9)※y=1/4x²のx=6を代入して、y=9


傾きを求めましょう。

傾く=(yの増加量)÷(xの増加量)

=(9-4)÷(-6-4)

=5÷(-10)

=ー1/2


y切片を求めましょう。

y=-1/2x+b(y切片)

この直線は、A(4,4)を通るから、

4=ー1/2×4+b

b=6


したがって、式は、y=-1/2x+6


【問3】




4⃣

問1、問2は、基本問題。問3ちょっと難しい。3:4:5の直角三角形が見つかれば、相似比などで、求められます。


【問1】

∠APB+∠APQ+∠CPQ=180

だから ∠APQ=180-∠APBー∠CPQ・・・①


∠APB=180-∠ABP(90°)-∠BAP(a°)

=90-a  ・・・②


PC=QC(△CPQは二等辺三角形)、∠BCD=90だから、

∠CPQ=∠CQP=45・・・③


①②③から、

∠APQ=180-(90-a)-45

=180-90+aー45

=45+a 答え ウ


【問2】

解答を参照


【問3】



5⃣

【問1】

AB=6、AD=8、AE=12

△DQPで、QはA、PはFであるから、△DAFのこと。

△DAFのそれぞれの辺の長さを求める


AD=8

三平方の定理から

AF²=AB²+AE²

=6²+12²

=36+144

=180   したがって、AF=6√5

三平方の定理から

DF²=BD²+BF²

BD²=AB²+AD²


DF²=AB²+AD²+BF²

=6²+8²+12²

=244  したがって、DF=2√61


AD²=8²=64

AD²+AF²=DF²が成り立つから、∠DAF=90

△DAFは直角三角形だから

△DAFの面積=1/2×8×6√5

=24√5 したがって、△DQPの面積=24√5


【問2】



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2019年度の都立高校入試問題の数学を解いてみました。


大問1:小問集合

※正負の計算、文字式の計算、平方根を含む計算(乗法公式を利用)、一次方程式、連立方程式、2次方程式(解の公式を使用)、確率、角(円周角)、作図

大問2:規則性を見つける文章問題、式の証明など

大問3:一次関数(座標、一次関数の式、面積問題)

大問4:平面図形(角度、相似の証明、面積問題)

大問5:空間図形(辺の長さ、体積問題)


1⃣

【問1】5+1/2×(-8)を計算せよ。

①かけ算を符号に注意して計算する(=5-4)

②計算する(1)(解答)

◎符号に注意。(-)×(-)=(+)、(-)×(+)=(-)


【問2】4(aーb)-(aー9b)を計算せよ。

①()を外す。符号に注意すること(=4aー4bーa+9b)

②同じ文字でまとめる(=(4ー1)a+(ー4+9)b)

③計算する(=3a+5b)(解答)

◎分配法則(a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d)=ac+ad+bc+bdの利用

◎かっこを外す時に符号に注意ー(-a)=+a


【問3】(√7ー1)2(二乗)を計算せよ。

①乗法公式(aーb)2(二乗)=a2(二乗)ー2ab+b2(二乗)を使って展開する(=(√7)2(二乗)ー2√7+1)

②二乗を計算する(=7-2√7+1)

③計算する(=8-2√7)(解答)

◎乗法公式の利用


【問4】一次方程式4x+6=5(x+3)を解け。

①かっこを外す(4x+6=5x+15)

②文字式を左辺、数字だけを右辺に移行する(4xー5x=15-6)。移項時に符号が変わることに注意

③左辺と右辺を計算する(-x=9)

④両辺にー1をかける(x=-9)(解答)

◎左辺から右辺への移項、またその逆正確にできること

◎両辺に同じ数をかける、割ったりしてx=の形を作る


【問5】連立方程式ーx+2y=8、3xーy=6を解け。

①ーx+2y=8…①、3xーy=6…②として、①+②×2を計算する(ーx+6x=8+12)

②ーx+6x=8+12を解く。5x=20、x=4(解答)

③x=4を①に代入する(-4+2y=8)

④-4+2y=8を解く。y=6(解答)

◎連立方程式は、加減法のほかに代入法もありますので練習しておきましょう


【問6】二次方程式x2(xの二乗)+xー9=0を解け。

①解の公式x=(-b±√b2(二乗)ー4ac)/2a

②a=1、b=1、c=-9として、xを求める

(x=(ー1±√1-4×1×(-9))/2

=(-1±√37)/2)(解答)

◎因数分解の公式と解の公式を覚えておきましょう。因数分解の公式に当てはまるかを最初に考えて、当てはまらなければ、解の公式を使いましょう


【問7】確率

5枚のカードから同時に3枚を取り出す場合の数は、組み合わせを考える。

(5×4×3)/(3×2×1)=10通り。

3枚のカードの積が3である場合の数は、(3,m,n)で、m、nの組み合わせを考える。(4×3)/(2×1)=6

確率は、6/10=3/5(解答)

◎順列の組み合わせ。場合の数の求め方を覚えておきましょう


【問8】角度問題

同じ弧の円周角は、同じになる。

x=角ACD=角ABD(同じ弧の円周角)

角ADB=90度(半円の円周角)

三角形ABDを考えると

25度+90度+x=180度

x=65度(解答)

◎半円の円周角は90度。中心角÷2=円周角

◎同じ弧の円周角は同じ(中心角は固定)


【問9】作図

Aに垂線を引く。

(コンパスでAを中心とした円を書き、直線ℓと交点をP、Qとします。P、Qを中心とした同じ半径の円を書き、交点を直線で結ぶとAを通る垂線が引けます)

Aから半径ABの円を書き、垂線との交点をCとする。

これで終わりです。

◎垂線、垂直二等分線、角の二等分線、円の接線の作図を抑えておく


2⃣

【問1】

n 1 2 3 n

L 4a 4a +2a 4a+2a+2a 4a+2a(n-1)

このことから

4a+2a(n-1)

= 2a(2+n-1)

=2a(n+1) (解答)


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大問1:小問集合

大問2:規則性を見つける文章問題、式の証明など

大問3:関数

大問4:平面図形

大問5:空間図形

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平均点は、次の通り。

平成30年:66.5点、平成29年:56.3点、平成28年:60.9点、平成27年:62.0点、平成26年:57.6点、平成25年:55.4点、平成24年:57.2点

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【大問1】小問集合

(1)正負の計算

計算の順序と正負の符号の計算をしっかり覚えて覚えておきましょう。


(2)文字式の計算

()を外して、符号に注意しながら、同じ文字をまとめましょう。


(3)平方根の計算

乗法公式を使って計算すれば簡単です。乗法公式が思い浮かばなければ、しても良いですが、よくわからなければ、分配法則((a+b)(c+d)=ab+ac+bc+bd)を使いましょう。

あと、平方根の計算(同じ√のたし算、ひき算)をしっかりやりましょう。


(4)一次方程式

左辺に文字式、右辺に定数(文字を含まない数)になるように移項しましょう。


(5)連立方程式

2つの式①②として、yまたはxの項のどちらかを消去できるように、①×a-②×bのように整数a,bをかけて計算しましょう。求めたxまたはyの値を①に代入して、yまたはxの値を求めましょう。


(6)2次方程式

因数分解しましょう。因数分解がうまくできない場合は、解の公式を使いましょう。解の公式はしっかり覚えておきましょう。


(7)資料の整理、確率、関数

・資料の整理は、平均の求め方と中央値の求め方は覚えておきましょう。

・確率は、樹形図が書ければ簡単に解けます。樹形図を書けるようにしましょう。

・関数は、変化量=(yの変化量)/(xの変化量)を覚えていきましょう。

今年は、確率がでそうです。(隔年で、確率がでています)


(8)角度

円周角と中心角、平行と錯角・同位角、三角形の内角の和、三角形の外角、多角形の内角の和をしっかり理解しておきましょう。

図を見たら、わかる角度をすべて書いてみましょう。


(9)作図

垂線の書き方、垂直二等分線の書き方、角の二等分線の書き方をしっかり覚えておきましょう。例えば、2点が重なるように直線を引くような問題は、2点の垂直二等分線を引けばよいです。


【大問2】規則性を見つける問題・式の証明

(1)が(2)のヒントになっている場合もあれば、(2)の問題文が(1)のヒントになっている場合があります。(1)ちょっとつずいたら(2)の問題を読んでみるのもよいかもしれません。

(1)規則性を見つける問題

変わる値を規則性を見つけるものですから、変わる値を並べてみましょう。

前の値との差、n-aのように変わる値に一定数を引いてみたり、nの二乗にaを加えたり引いたりしていないか見てっましょう。

(2)(1)を式にする問題です。

(1)の規則性を式に表して、それが特定の式になることの証明です。

規則性の式を書いて、計算していて、最後の結果を書く

例えば、3つの連続する自然数の和は、3の倍数になることを証明する。

n,n+1,n+2 n+(n+1)+(n+2)=3n+3

=3(n+1) n+1は自然数だから3の倍数になる

式を解いて、結論を述べるだけです。結論をしっかり述べないと完答になりません。


【大問3】関数

二次関数と一次関数です。

H27,H29は一次関数で、二次関数は出題されていませんでした。二次関数は、大問1で出題されており、値域(H29)、変化の割合(H27)を求める問題がでています。

今年は、大問1で二次関数、大問3は一次関数の可能性大です。


小問は、3問で、うち2問は、座標を求める問題、値域を求める問題、式を求める問題になっています。3問目は、少し難しく、面積を求める問題や面積から座標を求める問題が出題されています。


y=ax+b、y=ax^2(xの二乗)

の2つの式が基本です。

■座標を求める問題

交点座標は、2つの式を連立方程式で解けば、x,yの値がでて、それが座標になります。

■値域を求める問題

xの範囲が示されますが、xの最小値と最大値を式に代入して、yの値を求めれば良いです。不等号には注意いましょう。

■式を求める問題

一次関数の場合は、2つの座標や1つの座標と傾きを求めて、y=ax+bの式を求めます。

2つの座標から求める場合は、(x1,y1),(x2,y2)をy=ax+bに代入して、a,bの連立方程式を解くことになります。

二次関数の場合は、1つの座標で大丈夫です。(x1,y2)をy=ax^2(xの二乗)に代入して、aを求めるだけです。


■面積を求める問題や面積から座標を求める問題

まず、わかっている座標をグラフに書いてみましょう。わからない座標は、(a,b)とおいてみましょう。

これらの座標から、三角形の面積を求めることになります。四角形の面積の場合は、三角形の組み合わせに分解できないか見てみましょう。

次の三角形の底辺と高さを求めましょう。求めた座標のx,yの値や2つの座標のxの差、yの差が、底辺や高さの値になる場合が多いです。

あと、面積を2分の1にするような場合は、中点を求めましょう。中点の座標は、(x1,y1)(x2,y2)の中点は、((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)で簡単に求められます。


【大問4】平面図形

円、四角形の問題です。

小問は、3問あります。

■角度の問題

ここで角度の問題ができない場合は、大問1で出題されます。

・円周角=中心角÷2は覚えておきます。

これを使って、弧の長さを求める場合に利用されることがあります。

弧の長さ=2πr中心角/360も覚えておきましょう

・平行の場合は、錯覚、同位角が同じ角も覚えておきましょう


■三角形合同・相似証明

三角形の合同条件の3つは覚えておきましょう。

特に、「2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい」がよく出題されています。まずは、この条件に当てはまる辺と角を探してみましょう。

あと、直角三角形の合同条件も覚えておきましょう。


三角形の相似条件の3つは覚えておきましょう。

特に、「2組の角がそれぞれ等しい」がよく出題されています。まず、これを考えるための角を図から見つけてみましょう。よく、小問の一番目の解答と関連性を持たされる場合がありますので、小問の一番目の問題も参考にしてみましょう。


■面積、線分・弧の長さを求める問題

前問の証明問題が相似の証明であった場合は、比を使って面積や線分の長さを求める問題になっています。

あと、中点連結定理や重心の比など基本的なパターンは覚えておきましょう。

面積は、三角形の面積が主です。S=底辺×高さ÷2。底辺をどこ、高さをどこになるかしっかり図を見ましょう。


【大問5】空間図形

小問が2問の構成です。

■線分の長さ、角度

線分の長さは、三平方の定理を使って求める問題が主です。角度は、切り口が三角形の場合、90度などよく知る角度。過去問で答えが90度が2回出題されています。


■体積

相似・比と三平方の定理を使って解く問題がほとんどです。

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